1. 有限次元旗多様体の幾何学と表現

旗多様体$X$とはもともと$n$次元複素ベクトル空間$\mathbb C^n$の中の線形部分空間の列 $$ \{ 0 \} \subsetneq F_1 \subsetneq F_2 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n = \mathbb C^n $$ であって, $$ \dim \, F_i = i \hskip 5mm (1 \le i \le n) $$ を満たすようなもの全体の成す集合に特殊線形変換群(以下$G$で表します) $$ G = \mathop{SL} ( n, \mathbb C ) := \{ g \in \mathrm{Mat} ( n, \mathbb C ) \mid \det \, g = 1\} $$ の元が $$ \{F_i\} _ {i=1} ^n \mapsto \{g F_i\} _ {i=1} ^n $$ で連続的に作用するように位相を入れた多様体のことでした(この仮定の下で、作用は代数的になり特に複素解析的になります)。このとき、$X$への$G$の群作用は推移的になることが知られています。

$G$の部分群で上三角行列全体からなるものを$B$とおき(Borel部分群と呼び)、対角行列全体からなるものを$H$とおき(極大トーラスと呼び)ます。すると、上の記述から$X$は$G/B$と同型であることがわかります。また、 $$ P := \{ ( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb Z^{n} \} / \mathbb Z ( \overbrace{1,1,\ldots,1}^n ) $$ とおきます(この集合$P$は$\mathbb Z^{n} $から導かれる自然な加法を持ちます)。$P$の元は $$ \lambda = ( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n ) : H \ni \left( \begin{matrix} a_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{matrix}\right) \mapsto \prod _ {i=1} ^n a_i^{\lambda_i} \in \mathbb C^{\times} $$ によって$H$の$1$次元表現を定めることが分かります(このような$H$の$1$次元表現を指標と言います)。$B$の元から対角成分以外を忘れる$H$への写像があり、これは群準同型になります。よって上のように構成される$H$の表現は引き戻しにより$B$の表現($B$の指標) $$ \chi _ {\lambda} : B \rightarrow H \stackrel{\lambda}{\rightarrow} \mathbb C^{\times} $$ を定めます(ただし、以下では記号の乱用でそれを制限したもともとの$H$の表現も同じ文字で書きます)。

$H$の表現$U$が指標の直和で書けるときに $$ U \cong \bigoplus _ {\lambda \in P} \chi _ {\lambda} ^{\oplus m _ {\lambda}( U )} \Leftrightarrow \mathsf{ch} \, U := \sum _ {\lambda \in P} m _ {\lambda} ( U ) e^{\lambda} \hskip 5mm m _ {\lambda} ( U ) \in \mathbb Z _ {\ge 0} $$ のように表示した時には情報を失いません。この右辺の式を$U$の指標といいます。$U$の指標は $$ \mathsf{ch} \, U \in \mathbb Z [e^{\lambda} \mid \lambda \in P] $$ のように$P$を指数とするローラン多項式環(以下$\mathbb Z [P]$で表します)の元と見なせます。また、二つの$H$の表現$U, V$に対してその(ベクトル空間としての)テンソル積$U \otimes V$は自然にまた$H$の表現になります(同様のことは一般の群についても成立します)。これをテンソル積表現と呼びます。ここで、$U, V$を$H$の表現とするとその指標は $$ \mathsf{ch} \, \left( U \otimes V \right) = ( \mathsf{ch} \, U ) \cdot ( \mathsf{ch} \, V ) $$ のように振舞います(ただし、$\cdot$は$\mathbb Z [P]$における積です)。

さて、任意の$P$の元$\lambda$は以下の構成により$X$の上の直線束を定めます: $$ \mathcal L ( \lambda ) := G \times \mathbb C / \sim \hskip 5mm \text{ただし} \hskip 5mm ( g, v ) \sim ( g b, \chi _ {\lambda} ( b ) v ) \hskip 3mm \forall b \in B $$ これは$\pi : \mathcal L ( \lambda ) \ni ( g, b ) \mapsto gB \in G / B \cong X$を射影としてファイバーが$1$次元ベクトル空間となっており、確かに直線束を与えています。そして、$X$は複素解析的多様体ですので$X$の任意の直線束$\mathcal L$に対してその大域切断の空間 $$ \Gamma ( X, \mathcal L ) := \{ s : X \rightarrow \mathcal L \mid s \text{は正則写像で} \pi \circ s = \mathrm {id} _X \} $$ を考えることができます。構成からこれはベクトル空間になります。

上のもとで、幾何学的な表現論のお手本となる次の非常に美しい定理を述べることができます:

定理(Borel-Weil) $X$上の任意の正則な直線束$\mathcal L$は唯一の$G$作用を持ち、また上の構成で得られるものと同型である。 また、 $$ \Gamma ( X, \mathcal L ( \lambda ) ) ^* \neq \{ 0 \} \Leftrightarrow \lambda _i \ge \lambda _ {i+1} \hskip 5mm \forall 1 \le i < n $$ でありこの条件のもとで大域切断(の双対)は既約な有限次元$G$-表現の構造を持つ。さらに$G$の有限次元既約表現の同型類と$X$上の零でない大域切断を持つ直線束の同型類の間に大域切断を取ることによる自然な全単射が存在する。

ただし、上の定理を述べるだけであれば大域切断の空間の双対を取る必要はありません。上の定理を鑑みて、以下のような集合を定義します: $$ P_+ := \{ ( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n ) \in P \mid \lambda _i \ge \lambda _ {i+1} \hskip 5mm \forall 1 \le i < n \} $$ この集合と$G$の既約有限次元表現の同型類の間に全単射がある訳です。

$G$の有限次元表現$V$を$G$の対角行列からなる部分群$H$に制限すると、$H$の元が互いに可換であることなどから$V$は$H$の表現として同時対角化できます。また、実は任意の$G$の有限次元表現$V$は$H$に制限すると上の形の表現の直和として書けることがわかりますので、これによって$G$の各既約表現に対応して指標が定まります。

従って、 $$ s _ {\lambda} := \mathsf{ch} \, \Gamma ( X, L ( \lambda ) ) ^* \hskip 5mm \lambda \in P_+ $$ は意味のある関数($P$を指数とするローラン多項式)を定める訳です。これを通常シューア関数と呼びます。実は、$G$の既約有限次元表現はその極大コンパクト部分群(今の場合はユニタリ行列で行列式が$1$のもの全体になります)の既約表現と同じであることが知られています。そのことはシューア関数が適切な測度に関する直交多項式系であることを意味します。

$X$は特異点のない通常の意味でのコンパクト(複素)多様体ですのでシューア関数はAtiyah-Bottの局所化定理を用いて計算できます。それがワイル指標公式と呼ばれるものですが、これは一般に複雑な正負の数の交代和となります。

そのような状況を改善し、ある意味で閉じた正値の式の和(つまり、数え上げ)としてシューア関数を書くのがLakshmibai-Seshadriにより提唱されLittelmannにより完成させられたstandard monomial theory及び(伊達-神保-三輪の仕事にヒントを得て)柏原により完成された結晶基底の理論です。これら双方の理論はともに群$G$(もしくはそのリー代数)全体の対称性を一旦忘れ、その代わりに一部の特別に選ばれた作用の間の整合性を要請することにより表現の(指標の)構造を制御するものです。

これらの理論の幾何学的対応物がBott-Samelson-Demazure-Hansen多様体と呼ばれる多様体$Z$です。これは、$X$への$B$-作用と整合的な双有理(全射)を持つ射影直線の反復ファイバーの構造をもつ多様体です。ここでのポイントは射影直線が$n=2$の場合の旗多様体であることで、このことから以下のような公式が導かれます: 各$1 \le i < n$に対して $$ \alpha_i := (0, \ldots, 0, \overbrace{1}^{i\text{th}}, \overbrace{-1}^{(i+1)\text{th}}, 0, \ldots, 0) \in P $$ および $$ s_i : ( \lambda_1, \ldots, \lambda _ {i-1}, \lambda_i, \lambda _ {i+1}, \ldots, \lambda_n) \mapsto ( \lambda_1, \ldots, \lambda _ {i-1}, \lambda _ {i+1}, \lambda_i, \ldots, \lambda_n) $$ とおき、Demazure作用素を $$ D_i : \mathbb Z [ P ] \ni f \mapsto \frac{f - e^{- \alpha_i} s_i ( f )}{1 - e^{- \alpha_i}} \in \mathbb Z [ P ] \hskip 5mm 1 \le i < n $$ によって定めると $$ s _ {\lambda} = D_1 \circ D_2 \circ \cdots \circ D _ {n-1} \circ D_1 \circ D_2 \circ \cdots \circ D _ {n-2} \circ D_1 \circ \cdots \circ D _ {1} ( e^{\lambda} ) $$ という等式が成立します。これはいわゆるDemazure指標公式の特別な場合です。

作用素を合成するのは良いとして、数列$(1,2,3,...,n-1,1,2,...)$はちょっとぱっと見では意味がよくわかりません。実は、これは$n$次の置換全体において隣の数同士の互換(つまり、上の$s_i$と同じく$(i,i+1)$の形の互換)の積で$(1,2,...,n)$という順序を全てひっくり返す元$w_0$(最長元と呼ばれています)を書く一つのやり方を固定していることに対応します。そのようなやり方と指標の間に関係があることはあまり当たり前のことではなく、旗多様体の幾何学の一つのハイライトと言えます(量子群を用いたアプローチも知られています)。

最長元の書き方に応じて公式があるということは、同様の公式が$Z$の構成(もしくは最長元の表し方)を少し変えることにより大量に得られるということを意味します。簡単な場合は試されてみると面白いと思いますが、そのことに本格的にご興味を持たれた方はKumarの本”Kac-Moody groups, their Flag Varieties, and Representation Theory”をご覧ください。

2. ループ旗多様体の幾何学と表現論

さて、前節の議論をループ化することを考えます。このとき、作用する群として$G$からそのループ版である $$ G [\![z]\!] := \{ g \in \mathrm{Mat} ( n, \mathbb C [\![z]\!] ) \mid \det \, g = 1\} $$ へと変更することが基本的です(これがある種のループ化であるという認識を持つこと自体がそれほど当たり前ではないのですが、例えば$g = g ( z ) \in G [\![z]\!]$の各要素が多項式であれば、$\mathbb C$から$G$への写像を定めている為、特に$\mathbb C$内の複素絶対値$1$の単位円周から$G$への写像を定めることを注意しておきます)。有限次元旗多様体$X$には唯一の$B$-固定点があるので、それを$p$とおきます。各$1 \le i < n$に対して $$L ( \varpi_i ) := \wedge^i \mathbb C^n$$ とおくと$G$の(既約)表現になりますが、そこには(定数倍を除き)唯一の$B$-固有ベクトル$v_i$があります。すると、$p$を$\{ [v_i] \} _ {i=1}^{n-1}$におくることが誘導する$G$-作用と可換な埋め込み $$X \hookrightarrow \prod _ {i=1}^{n-1} \mathbb P L ( \varpi_i )$$ が存在することが分かります。この埋め込みのループ化として、 $$L ( \varpi_i ) [\![z]\!] :=L ( \varpi_i ) \otimes \mathbb C [\![z]\!] \hskip 5mm 1 \le i < n$$ が$G$の表現$L ( \varpi_i )$を自然にループ化していると思えることに注意して $$\mathbf Q_G := \overline{G [\![z]\!] X} \subset \prod _ {i=1}^{n-1} \mathbb P L ( \varpi_i ) [\![z]\!] $$ と定義します。これをループ旗多様体と呼びます。ここで非常に重要なこととして右辺の射影化の構成では複素スカラー倍のみを許し、特に$z$変数とは無関係にすることを挙げておきます。また、$X$は右辺の$z$変数についての定数部分に埋め込まれているとします。

ループ旗多様体は旗多様体の弧空間とは異なりますが、旗多様体の変種である基本アフィン空間の弧空間とほぼ同じものです。ただし、ほぼ同じというのは点のレベルであって、スキーム構造はまた話が違うことが知られています。

ここで、上記の構成をきちんと解釈することで、実は$X$の($G$-作用付き)直線束は必ずループ旗多様体へと持ち上がることが分かります(また、群作用込みならばそのような直線束しかないことも知られています)。ですので記号の乱用により、$X$の直線束と全く同じ記号でループ旗多様体の直線束を表すことにします。

さて、 $$ \mathfrak{g} [z] := \mathfrak g \otimes \mathbb C [z] \subset \mathfrak{g} [\![z]\!] = \mathrm{Lie} \, G [\![z]\!], \hskip 5mm \mathfrak{g} = \mathfrak{sl} ( n ) = \{ A \in \mathrm{Mat} ( n, \mathbb C ) \mid \mathrm{tr} \, A = 0 \} $$ とおき、最左辺をカレント代数と呼びます。カレント代数の表現が可積分であるとは$G$の有限次元表現の直和でかけていることとします。$G$の有限次元表現は微分することにより$\mathfrak g$の(リー代数としての)表現と思うことができ、同様に$B$の有限次元表現も$\mathfrak g$の中で下三角の成分が$0$の元全体からなる部分リー代数$\mathfrak b \subset \mathfrak g$の表現と思うことができます。

このとき、カレント代数の誘導表現 $$ M ( \lambda ) := U ( \mathfrak{g} [z] ) \otimes _ {U ( \mathfrak{b} + \mathfrak n [z] )} \chi _ {\lambda} \hskip 5mm \lambda \in P_+ $$ を前節の$B$の表現$\chi _ {\lambda}$を微分して得た$\mathfrak b$の表現$\chi _ {\lambda}$にさらに$\mathfrak g$の上三角行列全体からなる部分リー代数$\mathfrak n$のループ化$\mathfrak n[z]$が自明に作用するようなものとして定義することができます。そして、この$\mathfrak g [z]$の表現$M ( \lambda ) $の商として大域ワイル加群を $$ W ( \lambda ) := M ( \lambda ) / ( \text{可積分でないベクトル} ) $$ で定めます(ただし、可積分でないベクトルとは$G$の有限次元表現から来る成分を持たないベクトルのことで、上の式ではそのようなベクトル達が生成する$\mathfrak g [z]$-部分表現により割っています)。これは与えられた$H$-同時固有値を持つ生成ベクトルを持ち、他の任意の$H$-同時固有値が適当な距離を用いた球の中でより内側にのみあるような最大の加群という特徴づけをもちます。

以上の準備の元で、我々の定理は以下のように述べることができます(これはもともとBraverman-Finkelbergが類似の主張を別の設定で示して、以下の設定においては予想としていたものです):

定理(K-内藤-佐垣[2]) ループ旗多様体は正規スキームであり、また $$ H^i ( \mathbf Q_G, \mathcal L ( \lambda ) ) ^* \cong \begin{cases} W ( \lambda ) & (\lambda \in P_+, i = 0)\\\{0\} & (otherwise)\end{cases} $$

この定理から対応する弧空間とループ旗多様体のスキーム構造が(例えその被約構造をとったとしても)一般的にはずれることが従います。

実は大域ワイル加群の指標はルート系に付随する究極の対称多項式(系)であるマクドナルド多項式を特殊化したものであることが知られています(Sanderson, Ion, Lenart-内藤-佐垣-Schilling-Shimozono)。従って上の意味のループ旗多様体のBorel-Weilの定理は複数の意味で自然です。

さらに、上の定理を少し捻ることによりマクドナルド多項式系の別の特殊化も得られることが分かっています([3])。これらのことは大雑把に言ってループ旗多様体がある意味で自己双対であるという事象の表れだと考えられます。

ループ旗多様体の座標は一斉に$z$の冪だけずらすという構成ができ、それは多様体としての自己準同型を与えることが知られています。このことからループ旗多様体のBott-Samelson-Demazure-Hansen多様体を介して、ループ旗多様体から自分自身への写像を導くことができます。これは、数値的なレベルでは前節のDemazure指標公式の代わりに差分方程式系が現れるということを主張します([1];いわゆる$q$-Whittaker方程式と同値な方程式系になります)。この差分方程式系は大域ワイル加群の指標を特徴づけることも知られています。

参考論文

1. Demazure character formula for semi-infinite flag manifolds, arXiv:1605.04953v3.
2. (内藤聡氏及び佐垣大輔氏との共同研究) Equivariant $K$-theory of semi-infinite flag manifolds and Pieri-Chevalley formula, arXiv:1702.02408v3.
3. (Evgeny Feigin氏及びIevgen Makedonskyi氏との共同研究) Representation-theoretic realizations of non-symmetric Macdonald polynomials at infinity, arXiv:1703.04108.